SÉRIE TAYLOR- ANCELMO GRACELI.

 FUNÇÕES GRACELI [ZETA, DELTA, GAMA, ETA, E OUTRAS [10]

 SUPERFÍCIES, CURVAS E ESFERAS DE GRACELI.

COS Π 

INTEGRAIS, SOMAS E SÉRIES DE GRACELI.

 

séries e integrais de Graceli. 

  Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

• NÚMERO DE GRACELI =Gn= PI / 1.1 = 2.8559090
• P = PROGRESSÃO.
• 
  
• Aqui, considera-se que  vale 
•  é um polinômio de Bernoulli.
•  é um número de Bernoulli, e aqui, 
•  é um número de Euler.
•  é a função zeta de Riemann.
•  é a função gama.
•  é uma função poligama.g
•  é um polilogaritmo .
•  é o coeficiente binomial
•  denota a exponencial

      

                                                                                                            -S / PW                               

                                                                    pg

COS Π Gn  [px] = an cos[-1/ ]f[Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$,/ / [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

onde ${\textstyle f(x)}$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de ${\textstyle f(x)}$ em torno do ponto ${\textstyle x=a}$. Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem ${\textstyle n}$ em torno de ${\textstyle x=a}$ de uma dada função ${\textstyle n}$-vezes diferenciável neste ponto é dado por:^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}

${\displaystyle p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

No caso particular de ${\textstyle a=0}$, série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência ${\displaystyle R}$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) ${\displaystyle |x-a|\leq r<R}$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

cuja série de Taylor é :

${\displaystyle f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots }$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.^[9]

A série de Taylor associada a uma função ${\displaystyle f}$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Função exponencial e logaritmo natural:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x}$^[10]

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série geométrica:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha }$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Funções trigonométricas:

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

onde Bs são números de Bernoulli.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Funções hiperbólicas:

${\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

${\displaystyle \mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Função W de Lambert:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ em torno do ponto ${\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})}$ é dada por:

${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

onde ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}}$ denota ${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Ou seja, tem-se:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}$

/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

No caso particular ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle X_{0}=(x_{0},y_{0}):}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.}$^[11]/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Séries de Maclaurin

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde ${\displaystyle a=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

${\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Logo:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}$/ [Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]

Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$,

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

onde ${\textstyle f(x)}$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de ${\textstyle f(x)}$ em torno do ponto ${\textstyle x=a}$. Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem ${\textstyle n}$ em torno de ${\textstyle x=a}$ de uma dada função ${\textstyle n}$-vezes diferenciável neste ponto é dado por:^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}

${\displaystyle p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

No caso particular de ${\textstyle a=0}$, série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência ${\displaystyle R}$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) ${\displaystyle |x-a|\leq r<R}$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

cuja série de Taylor é :

${\displaystyle f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots }$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.^[9]

A série de Taylor associada a uma função ${\displaystyle f}$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns ao redor de ${\textstyle a=0}$ (Série de Maclaurin)

Função exponencial e logaritmo natural:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x}$^[10]

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Série geométrica:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha }$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Funções trigonométricas:

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

onde Bs são números de Bernoulli.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Funções hiperbólicas:

${\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

${\displaystyle \mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Função W de Lambert:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ em torno do ponto ${\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})}$ é dada por:

${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

onde ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}}$ denota ${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Ou seja, tem-se:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}$

Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =No caso particular ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle X_{0}=(x_{0},y_{0}):}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.}$^[11]Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Séries de Maclaurin

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde ${\displaystyle a=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

${\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Logo:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}$Gn]=+bn sen 1/ Gn [k[pr]ph]  =